[转自八阙]费马大定理

有一位法学学士、律师、国会议员,并享有“长袍贵族”特权的官宦子弟,却在数论、解析几何、微积分和概率论等数学分支领域贡献良多,他就是法国的费马(Pierre de Fermat,公元1601~1665年),被后世誉为“业余数学家之王”。

费马的父亲是法国多米尼克的地方的执政官,母亲曾在“长袍贵族”议会中任职。费马出生于1601年8月20日,1631年获奥尔良大学民法学学士学位,并以律师为职业,曾任图卢兹议会的议员。他有丰富的法律知识,精通数国外语,而且业余爱好数学。

费马研究古希腊几何学,于1629年编写《平面和立体的轨迹引论》一书,虽然迟至1679年才出版问世,但他已早于笛卡尔《几何学》(1637年)发现了解析几何的基本原理——用代数方程表示曲线的方法。

关于微积分,牛顿曾说:“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示,我推广了它,把它直接并且反过来应用于抽象的方程。”这种切线作法出现在费马所著《求最大值和最小值的方法》(1637年)一书中。

1654年,法国骑士梅累向帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题:“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢s局就算赢,现在一个人赢a(a<s)局,另一个人赢b(b<s)局,赌博中止,问赌本应怎样分法才算合理?”这个问题后来称为“赌点问题”。帕斯卡接到这个问题后,立刻将其转告费马,他们俩人都对这个问题作出了正确的解答,但所用方法不同。关于概率论的研究,就是这样开始的。后来,惠更斯继续研究这个问题,并于1657年写成《论赌博中的计算》一书,从而使概率论成为研究随机现象统计规律的数学分支。

费马在业余数学研究中的最大成就当属数论,最著名的是以他的名字命名的两个定理:

“费马小定理”——如果n是一个任意整数而p是一个任意素数,那么,n的p次方-n可以被p整除。例如,n=4,p=3,那么4的3次方-4=60能被3整除。

“费马大定理”——x的n次方+y的n次方=z的n次方,当n>2时无整数解。例如,n=3时,x的3次方+y的3次方=z的3次方无整数解。

我们知道,当n=2时,x的2次方+y的2次方=z的2次方有无穷多组整数解。如x=3,y=4,z=5,有3的2次方+4的2次方=5的2次方;又如x=5,y=12,z=13,有5的2次方+12的2次方=13的2次方。这是古希腊数学家丢番图的《算术》第二卷第8命题“将一个平方数分为两个平方数”。

大约1637年左右,费马在《算术》一书中该命题旁边,用小字写道:“但是,要将一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂,一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂,都是不可能的。对此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小而写不下。”这就是数学史上著名的“费马大定理”或称“费马最后定理”。

“费马大定理”的证明困扰了其后3个半世纪的著名数学家,其中包括欧拉、高斯和柯西,他们都得到了部分结果,但都没有给出普遍的证明。为此,布鲁塞尔科学院、巴黎科学院都曾悬赏征集这个问题的证明,但没有得到结果。1908年,哥廷根皇家科学会把奖金提高到当时的天文数字10万马克,仍无人问津。不过,距今10年前,这个难题被英国数学家威尔斯彻底解决。

费马性情谦抑,好静成癖。他对数学的许多研究成果,往往以极其简洁的语言表述,写在他读过的书籍边缘或空白处;也有一些只言片语写在给朋友的信函中;还有就是随便散放在旧纸堆里。他不愿发表其研究成果,而且对已完成的工作不再感兴趣。他是一个完全以兴趣爱好出发和完全无功利目的的业余数学研究者。他的经验抑或是教训,值得后人思考。

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威尔斯证明“费马大定理”

英国数学家威尔斯(Andrew Wiles,公元1953年4月11日~)在10岁时就立志攻克“费马大定理”。1971年他入牛津大学学习,1980年获博士学位;1986年开始潜心研究,终于在7年后的1993年6月证明了“费马大定理”,尽管只有极少数的数学家能够理解这个学术性很强的证明。

但数月之后,威尔斯的证明逐渐被发现有些问题。40岁的威尔斯知难而进,再接再厉,终于在1994年9月完成了历史性的长篇论文《模椭圆曲线与费马大定理》,并于1995年发表在《数学年刊》上,他这次对费马大定理的证明无懈可击,迅速得到国际数学界的承认。

一个困惑了世间近360年的数学难题终于被攻克。

历时358年才被证明的费马大定理

数学上常把n个相同的数a相乘的积叫做a的n次幂,记作an,读作a的n次幂或a的n次方,符号an=a×a×…×a,如53=5×5×5,74=7×7×7×7等。

约在1637年的某天,法国数学家费马(1601~1665)在一本古希腊数学家丢番图著的《算术》书的页边上写道:“将一个高于二次的幂分解为两个同次的幂,这是不可能的。关于此,我发现了这定理的一个真正奇妙的证明,但书上空白的地方太少,写不下。”这就是说:当整数n>2时,方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。这个断言,后人称它为费马大定理。费马死后,人们找遍了他的遗作,结果大失所望,没有找到他的“奇妙的证明”。后来,他的许多数学断言陆续被证明是正确的,对于这个断言,人们既不能证明它,也没能否定它,但仍怀着极大的兴趣试图证明它。

三个多世纪来,各个时代都有世界一流的数学家在做着证明工作,如瑞士数学家欧拉,法国数学家勒让德、柯西,德国数学家高斯、狄利克雷、库麦等。他们前赴后继地工作,虽然没有获得费马定理的完整的普遍的证明,但仍推动着数学向前发展。1908年,德国哥廷根皇家科学会决定悬赏十万马克,奖给100年内证明此定理的人,限期到2007年。

1995年,费马大定理终于被数学家韦尔斯(wiles)所证明。他于1953年生于英国剑桥,后任美国普林斯顿大学教授。历时358年的费马大定理被证明,震动了全世界,被誉为20世纪最伟大的数学成果之一。

证明费马大定理的故事

为了寻求费马大定理的解答,三个多世纪以来,一代又一代的数学家们前赴后继,却壮志未酬。1995年,美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战,用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。

费马大定理提出的问题非常简单,它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后,当费马在研究毕达哥拉斯方程时,他写下一个方程,非常类似于毕达哥拉斯方程:Xn+Yn=Zn,当n大于2时,这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注:“对此,我确信已发现一个美妙的证法,这里的空白太小,写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个数学史上最深奥的谜。

大问题

在物理学、化学或生物学中,还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰,却长久不解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到,文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。

安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥,父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到:“在学校里我喜欢做题目,我把它们带回家,编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”一天,小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书,这本书只有一个问题而没有解答,怀尔斯被吸引住了。

这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史,这个定理让一个又一个的数学家望而生畏,在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯 30多年后回忆起被引向费马大定理时的感觉:“它看上去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题,从那个时刻起,我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位,之后进入剑桥大学Clare学院做博士。在研究生阶段,怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说:“研究费马可能带来的问题是:你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coates)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论,我开始跟随他工作。” 科茨说:“我记得一位同事告诉我,他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生,他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看,他也有很深刻的思想,非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然,任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的,即使对资历很深的数学家来说,它也太困难了。”科茨的责任是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说:“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然,不能保证它一定是一个富有成果的研究方向,但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、他对好领域的直觉。然后,学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。”

科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点,椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。

孤独的战士

1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学,并成为这所大学的教授。在科茨的指导下,怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程,他已经成为一个著名的数论学家,但他清楚地意识到,即使以他广博的基础知识和数学修养,证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。

在怀尔斯的费马大定理的证明中,核心是证明“谷山-志村猜想”,该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚,我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我,肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻,那个改变我生命历程的时刻,因为这意味着为了证明费马大定理,我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想……我十分清楚我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。

20世纪初,有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理,他回答说:“在开始着手之前,我必须用3年的时间作深入的研究,而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道,为了找到证明,他必须全身心地投入到这个问题中,但是与希尔伯特不一样,他愿意冒这个风险。

怀尔斯作了一个重大的决定:要完全独立和保密地进行研究。他说:“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中,除非你的专心不被他人分散,而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作,任何时候只要可能他就回到家里工作,在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。

这是一场长达7年的持久战,这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。

欢呼与等待

经过7年的努力,怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果,他也证明了费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底,有一个重要的会议要在剑桥大学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡,他曾经是那里的一名研究生。

1993年6月23日,牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲,但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景:“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声,很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头,研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时,会场上保持着特别庄重的寂静,当我写完费马大定理的证明时,我说:‘我想我就在这里结束’,会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。”

《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”,久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间,怀尔斯成为世界上最著名的数学家,也是唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创意的赞美来自一家国际制衣大公司,他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。

当怀尔斯成为媒体报道的中心时,认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物,然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人,审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》,整整一个夏天他焦急地等待审稿人的意见,并祈求能得到他们的祝福。可是,证明的一个缺陷被发现了。

我的心灵归于平静

由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法,编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定2-3个审稿人,而是6个审稿人。200页的证明被分成6章,每位审稿人负责其中一章。

怀尔斯在此期间中断了他的工作,以处理审稿人在电子邮件中提出的问题,他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章,1993年8月 23日,他发现了证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题,补救的办法可能就在近旁,可是6个多月过去了,错误仍未改正,怀尔斯面临绝境,他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情况,萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过长时间的考虑后,怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作。

泰勒1994年1月份到普林斯顿,可是到了9月,依然没有结果,他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19 日,一个星期一的早晨,怀尔斯发现了问题的答案,他叙述了这一时刻:“突然间,不可思议地,我有了一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻,我不会再有这样的经历……它的美是如此地难以形容;它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈,又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”

这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极,怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页,是历史上核查得最彻底的数学稿件,它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上,标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说: “用数学的术语来说,这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比,对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌,同时,不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来,安德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

声望和荣誉纷至沓来。1995年,怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖,1996年,他获得沃尔夫奖,并当选为美国科学院外籍院士。

怀尔斯说:“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权,在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了,我的心已归于平静。”

(据《科学时报》 王丹红)

Andrew John Wiles

安德鲁•约翰•威尔斯

生于:1953年4月11日,英格兰,剑桥

在Andrew John Wiles 还是个孩子的时候,他就开始对费尔马大定理产生了兴趣。他说:“那时我只有十岁,一天,我正在当地的公共图书馆阅读时,看到了一本数学专著,这本书中简要讲述了一个数学难题的有关历史。而我,一个十岁的孩子,竞能够读懂这个问题,从那一刻起,我就立志,自己将来要解决这个难题。它是如此完美而富有挑战性。这个难题就是费尔马大定理”。

1971 年,Wiles进入了牛津大学城的默顿(Merton)学院,在1974年取得了学士学位之后,进入了剑桥的克莱尔(Clare)学院攻读博士学位,他在剑桥的博士生导师是约翰•科茨先生。科茨先生曾这样评价过 Wiles: “能拥有Andrew john wiles 这样的学生,我感到荣幸,即使他还是一个研究生时,他就是我的一个非常不错的助手,那时的他就有深邃的思想,很明显,他将是一个大有成就的数学家。”

Wiles 并没有在做博士论文时研究费尔马大定理,他这样说:“费尔马大定理的研究是有可能使你数年一无所获的,因此,我来到剑桥和我的导师一起研究关于椭圆曲线的Iwasawa定理”。

从1977 年到1980年,Wiles只是剑桥克莱尔学院的一个助理研究员,同时也是哈佛大学的本杰旺•皮尔斯项目的副教授。1980年他被授予了博士学位,并在柏恩的Songderforschungsbereich Theoretische Mathematik研究所工作了一段时间,之后于1981年底返回英国,在普林斯顿高等研究所任职,次年担任教授,1982年,他去巴黎做了一段时间的访问教授。

Wiles获得了Guggenhem奖学金,这使他能在1985年到1986年访问巴黎Hautes Etudes科学研究所和巴黎高等师范。期间,一件大事改变了Wiles的研究方向,事后,他描述到:“约在十年前,由G•沸洛尔提出和K•里伯特证明(在B•莫扎尔和JD塞尔的想法之上),费尔马大定理是Shimura(谷山)-Tanjyama(志村)猜想的必然结果。这个猜想是说每一个定义在有理数域的椭圆曲线是可模的,更精确地说;如果an+bn=cn是一个费尔马大定理的反例。这样椭圆曲线y2=x(x-an)(x+bn)不可能是可模的,这样使得S-T猜想不正确。这个结果给Wiles的研究工作提供了平台。”

事实上,在Wiles得知上述结果之后,他就毅然放弃了手头上所有的研究,用了整整七年时间,专心致志地证明Shimura-Tanjyama猜想,因为这将意味着费尔马大定理也就随之得到解决。Wiles说:“经过几年之后,我发现与人随意谈论费尔马大定理是根本不可能的,因为它有着太丰富的内涵,而人们却很难经年累月地专注于它,除非你拥有不受外界影响的长期高度精神集中的能力”。

实际上,对Wiles来说,婚后生活成了被尽可能简化的事情。他说“当我还在研究费尔马大定理时,我和我的妻子刚刚认识。在我结婚几天之后我告诉她,我的时间只够用于解决难题及照顾家庭,当我劳累过度时,我发现与孩子们在一起是最可能的放松方式,因为当你对孩子们讲述费尔马大定理时,他们对它毫不感兴趣。”

1988年,Wiles去了牛津大学,在那里他作为皇家学会的研究教授度过了两年时间。这期间,他于1989年当选为皇家科学院院士,他的研究过程是这样被描述的:

用伽罗瓦表示的Mazur形变理论、关于伽罗瓦表示的可模性的塞尔猜想的最新成果,以及Hecke代数深刻的算术特性,Wiles(其中关键的一步,是由 Wiles和R•泰勒合作完成的)成功地证明了所有定义在有理数域上的半稳定椭圆曲线都是可模的。尽管没有完全证明S-T猜想,但是这个结果确实说明了上述所说的椭圆曲线是可模的。这样也就证明了费尔马大定理。

事实上,证明工作的过程并不象描述的那样一帆风顺。1993年,Wiles告诉其他两个数学家,他已经接近费尔马大定理证明工作的尾声,他在修正了几个证明的漏洞之后,开始在剑桥的牛顿研究所做一系列的报告,在1993年6月23日的最后一次报告结束时,Wiles宣布他证明了费尔马大定理。然而当他的成果被整理出来准备发表时,却被发现证明过程仍有一个细微漏洞。Wiles说:“在我研究这个难题的七年里,尽管工作辛苦,但我一直快乐地享受每一分钟。虽然我也会遇到困难,遇到挫折,但我投身的完全是一场只关乎自己的战斗。之后,我就必须以非常开放的方式做数学研究,这显然不是我的风格,我当然不会愿意再去尝试”。

在上面提到的R•泰勒的帮助下,Wiles努力地工作了一年。直到1994年9月14日,几乎在完全放弃的情况下,他决定最后再试一次。

“猛然间,完全没有料到,我有了不可思议的灵感和发现,那是我毕生工作中最重要的时刻。它是那样令人难以置信的美妙,是那样简单明了。所有的工作都没有重复,我只是怀疑地盯着它看了20分钟,接下来我一整天都在系里走来走去,我强迫自己回到办公桌前看看是否是那么回事——是那么回事!!”

1994 年,Wiles被聘为普林斯顿大学EUGENL HIGGINS讲座数学教授。1995年美国《数学年刊》杂志发表了他证明费尔马大定理的论文《可模的椭圆曲线和费尔马大定理》。由于这一杰出贡献,从 1995年起,荣誉纷至沓来。他被瑞典皇家科学院授予数学SCHOCH奖,被PANL SABUTIER大学授予PRIX FERMAT奖。1996年他又获得了包括沃尔夫奖在内的其它许多荣誉,并成为美国国家科学院外籍院士,获得了该院的数学项目奖励金。Wiles说:“对我来说,任何其它问题都不会比费尔马大定理更有意义,因为它使我很庆幸地可以在成年之后仍然追求儿时的梦想。我知道这是一种鲜有的荣幸,更知道一个人如果真的确定做这项研究,就会发现它比能够想象的其它任何事情都更值得去做”。

Wiles的工作可以这样总结:他的工作具有极高的创造性,是人力的科技之旅,他个人的不懈努力是数学史上的一座丰碑。

作者:J J O ’Connor and E F Robetson, 1997年4月

(译者:尹茜、李方,2005年3月)

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